[Перевод] Теорема Эрроу, доказывающая, что ни одна избирательная система не идеальна

По мотивам всей драмы на d3 с выборами в сообществах, по мотивам этого комментария, я решил перевести любопытную теорему Эрроу для тех, кто с ней ещё не знаком.
Объяснение с The Tech:

Согласно одному из ключевых утверждений в теории общественного выбора, изложенному в Теореме Невозможности Эрроу, ни одна последовательная и справедливая избирательная система не способна привести к разумному результату.

Названная в честь лауреата Нобелевской премии экономиста Кеннета Эрроу, теорема вначале устанавливает разумные условия голосования для того, чтобы собрать различные предпочтения индивидов в единое предпочтение группы.

Такие условия могут привести к абсурдным решениям или явно недемократичному их принятию. Вот как изложили это в своей книге «Анализируя политику» политологи Кен Шепсле и Марк Боншек: «Либо в группе доминирует один выделяющийся индивид, либо в ней складываются нетранзитивные предпочтения». По этой причине теорему иногда называют «диктаторской».

Чтобы понять теорему Эрроу, нужно сперва разобраться, какой смысл экономисты и политологи вкладывают в понятие «нетранзитивные предпочтения».

Предпочтения называют «транзитивными» в том случае, если их можно расположить в разумном порядке. Например, если вам больше всего нравятся яблоки, потом апельсины, а меньше всего вы любите бананы, то это означает, что вы предпочтёте яблоки апельсинам и бананам, а апельсины бананам. Но если ваши предпочтения не могут быть распределены в подобном порядке от лучшего к худшему, и вы предпочитаете яблоки апельсинам, а апельсины бананам, но при этом бананы нравятся вам больше, чем яблоки, ваши предпочтения можно назвать «цикличными» или «нетранзитивными».

Эрроу пытался создать систему голосования, которая была бы последовательной и справедливой и которая приводила бы к транзитивным групповым предпочтениям при выборе из более чем двух вариантов. Но пытаясь создать такую систему голосования, он доказал, что она невозможна.

Условия, которые задал Эрроу для создания логичной и справедливой системы голосования, могут быть описаны следующим образом:

1) Каждый избиратель может иметь любой набор логичных предпочтений. Это требование называется «универсальной приемлемостью».
2) Если каждый голосующий предпочитает А Б, то тогда вся группа выбирает А, а не Б. Это называется состоянием «единогласия».
3) Если каждый голосующий предпочитает А Б, то любое изменение в предпочтениях, которое не влияет на это отношение, не должно влиять на групповое предпочтение. Например, если группа учёных единогласно решает, что Абрахам Линкольн был президентом лучше, чем Честер Артур, то их отношение к Биллу Клинтону никак не должно повлиять на это решение. Такое требование называется «независимостью от посторонних альтернатив».
4) Отсутствие диктатора.

Теорема Эрроу утверждает, что выбирая между более чем двумя вариантами, невозможно соблюсти все эти четыре условия, не создавая при этом цикличных групповых предпочтений. Что ещё ужаснее, транзитивность групповых предпочтений при соблюдении первых трёх условий неизбежно приводит к диктатуре.

Формальное доказательство теоремы — утомительное доказательство от противного, но проблему можно легко проиллюстрировать мажоритарной избирательной системой.

В мажоритарной избирательной системе люди голосуют только за наиболее предпочтительного кандидата, и кандидат, набравший наибольшее количество голосов, побеждает. Но проблема в том, что у победителя может быть меньше 50 процентов голосов.

Рассмотрим президентские выборы в США 1992 года. Клинтон выиграл выборы с 43 процентами голосов избирателей. Дж. Буш–старший набрал около 38 процентов голосов, а Росс Перо — около 19 процентов.
Теперь предположим, что все избиратели Перо проголосовали бы за Буша, если бы Перо не выдвигал свою кандидатуру. Тогда бы Буш выиграл выборы с 57 процентами голосов. Грубо говоря, этот результат нарушает условие независимости от посторонних альтернатив.

Аналогичные проблемы существуют и во всех других системах голосования, поэтому политологи и другие эксперты работают над тем, чтобы выяснить, какие условия можно смягчить, чтобы создать разумный порядок голосования. Большинство учёных считают условия «единогласного» согласия и отсутствия «диктата» священными. Таким образом, основное внимание сосредоточено на условии посторонних альтернатив и, что более важно, на том, как часто отдельные системы сталкиваются с проблемами.

Мажоритарная система, например, не так часто приводит к нетранзитивным предпочтениям, как вы могли бы подумать. Шепсле и Боншек подсчитали, что в выборах из трёх кандидатов с тремя избирателями только 12 договоренностей о из 216 возможных привели к нетранзитивным групповым предпочтениям.

Некоторые утверждают, что другие системы голосования являются менее склонными к ошибкам, наподобие той, с которой мы, возможно, столкнулись во время президентских выборов 1992 года. Двухтуровая система и кембриджская система пропорционального представительства устраняют кандидатов с низким рейтингом (типа Перо), и голоса распределяются среди остальных кандидатов.

Подсчёт Борда используется в некоторых спортивных рейтинговых системах и требует от избирателей дать оценку кандидатам. Вместо ликвидации кандидатов баллы распределяются согласно оценкам и используются, чтобы определить победителя.

Каждый метод обладает преимуществами, но в каждом гарантированно есть и недостатки, парадоксальные результаты, необходимые для теоремы Эрроу. Практический вопрос для политиков и избирателей состоит в том, какая из этих избирательных систем реже всего приводит к подобным проблемам.
Второе объяснение с Plus:

Кеннет определил избирательную систему следующим образом. Существует определённое количество избирателей, каждый из которых составляет рейтинг кандидатов, оценивая свои предпочтения. Избирательная система берёт все эти оценки и предпочтения в качестве входных данных и каким–то способом преобразовывает их на выходе в один рейтинг кандидатов. Целое правительство может быть сформировано на основе одного такого рейтинга.
Чтобы система голосования была действительно демократической, она должна соблюдать ряд ограничений, введённых Кеннетом.

1) Система должна отражать желания более чем одного человека (следовательно, не должно быть диктатора).
2) Если все избиратели предпочитают кандидата X кандидату Y, то Х должен занять главную позицию в окончательном рейтинге (это условие иногда называют «единогласием»).
3) Избирательная система на выходе всегда должна давать окончательный и чёткий рейтинг (это условие известно как «универсальность»).
Кеннет также добавил немного изощрённое условие:
4) Независимо от того, какой кандидат занял первое место, скажем, X одержал победу над Y, итоговый рейтинг должен зависть только от того, как отдельные избиратели оценили Х в сравнении с Y. То, как группа оценила любого из этих двух кандидатов в сравнении с третьим кандидатом Z, не должно повлиять на окончательное решение. Эрроу назвал это независимостью от посторонних альтернатив.

Арроу математически доказал, что если кандидатов больше трёх, а избирателей больше двух, то ни одна избирательная система, которая берёт предпочтения голосующих в качестве входных данных и преобразовывает их в один список предпочтений, не может удовлетворить все 4 условия. Его теорема, названная Теоремой Невозможности Эрроу, помогла ему в 1972 году заработать нобелевскую премию в области экономики.

Ещё одно объяснение с Reddit:

Теорема названа в честь Кеннета Эрроу. Я, на самом деле, почти ничего не знаю о нём как о человеке, но, слава богу, это нам и не нужно.
Его теорема гласит, что если нам представлен выбор из трёх и более вариантов (Апельсин, Лимон или Грейпфрут), то вы, естественно, составите список исходя из того, какой фрукт вам нравится больше всего, а какой меньше всего.

Но так поступит и любой другой человек, перед которым будет стоять такой выбор, и его предпочтения могут быть совершено иными, чем у вас. Таким образом, легко задокументировать предпочтения отдельных людей, но невозможно придумать список, который бы точно отражал предпочтения целой группы.

Главным образом она используется для описания того, как устроены выборы, где граждане голосуют за кандидатов от политических партий. Теорема пытается установить "справедливый" процесс принятия решений путём введения некоторых критериев (например, они не должны служить диктатуре, должны быть независимы от других переменных, должны удовлетворять все возможные результаты и т.д.). Но теорема доказывает, что невозможно соблюсти эти критерии одновременно, например если во второй этап проходят два кандидата, то не обеспечиваются все возможные результаты и т.д.
В определённый момент вам приходится нарушить какое–то из условий для того, чтобы система «работала».
fluidkarma
48
4208
Опубликовано на interpreted
По поводу транзитивности/нетранзитивности. Я бы лучше это объяснил на примере.
Транзитивные соотношения — это соотношения больше/меньше в математике. Если a>b, а b>c, то a>c. Или старшинство игральных карт: если туз старше короля, а король старше валета, то туз старше валета.
Нетранзитивные соотношения — это игра "камень–ножницы–бумага". Камень выигрывает у ножниц, ножницы выигрывают у бумаги, но при этом камень проигрывает бумаге.
MrGrey: Очень хороший пример, спасибо! Над фруктами я минут 5 голову ломал.
MrGrey: Ящерица! Спок!
image
Зачем же нужно голосовать за конкретных представителей? Не логично ли в таком случае предположить, что парламентская форма правления может оказаться более защищенной? По результатам выборов необходимо было бы подсчитать предпочтения и соответственно разделить места в парламенте.
Кто виноват и в чем секрет
Что горя нет и счастья нет
И доказал нам всем Кеннет
Что равен счёт удач и бед.
bambula: Для тех, кто не в теме.
Участвовал в работе избиркома при выборах Лукашенко в Перезиденты.
От всех избирательных участуков требовалось одно : Обеспечтььб 100% явку.
Т.е.лосовать максимальное количество населения — все равно до 70% проголосуют за старого и проверенного десятилетиями "кандидата". Никто не дорисовывал ему голосов..Просто у нас много военнослужщик, МВД, бюджетников, и плюс их семьи, добавте пенсионеров, кормящих, инвалидов ( мы обошли всех — и лежачих, и ненормальных, и даже слепые опустили бюлетень)
leha_chifir: А тут всё просто оказалось, как дверь. У нас здесь, в России, так же обстоят дела — за результатом нужным дело не встанет, но очень нужна явка. Я как–то полюбопытствовал у пары человек осведомленных, они хором сказали, что сам факт наличия многих проголосовавших — это, конечно, легитимизация процесса. Поэтому я, например, очень скептически отношусь к горячим призывам прийти и попробовать высказать свое мнение на выборах — когда есть возможность подтасовать их результаты, вся процедура становится неумным фарсом.
leha_chifir: Я помню, что главной задачей было заставить проголосовать досрочно. Не важно за кого.
Всех бюджетников, милицию и пр. загоняли на досрочное голосование, даже какой–то выходной дополнительный давали студентам, чтобы они домой разъехались, а проголосовали заранее.
ADR4_2: Досрочно легче заставить бюджетников голосовать. Прямо во время рабочего дня, А молодежь в выходные не словить..
ADR4_2: Вроде бы при досрочном голосовании проще рисовать правильный результат. Тупо нет наблюдателей и т.п.
MrGrey: В этом и весь смысл.
Я даже больше скажу. Вообще ничто не идеально.
qqshka: Не может быть!
Мне кажется необходимость пункта 3 — отсутствия влияния сторонних факторов — надумана. Вообще не понимаю откуда она берётся.

Да и как может быть иначе? Сторонние факторы влияют на последствия выбора. Мы выбираем кандидата исходя из того, что мы предполагаем он сделает на посту. Сторонние факторы не влияют на качества кандидата, но влияют на то, что он может/вынужден будет сделать. А также могут открывать нам дополнительную косвенную информацию о самом кандидате.

Так что в этом месте мне не совсем понятно. Возможно издержки перевода/объяснений. Уверен Нобелевку просто так не дают.
smartov: В вики пишут почетче, как мне показалось: "Независимость от посторонних альтернатив: если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате".

По–моему, я уже и про Эрроу, и про Кондорсе на дертях не раз читал. Именно этот перевод мне не кажется удачным, но он очень способен дополнить статьи Википедии.